Funktsiooni f(x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni nimetatakse lõigus [a; b] integreeruva funktsiooni f(x) algfunktsiooni muutu, mis vastab argumendi muudule Δx = b − a ja seda tähistatakse sümboliga:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx.$$
Matemaatilise analüüsi esimene põhiteoreem
Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigus [a; b], siis eksisteerib vastavas lõigus tuletis F′(x) ning:
$${F}'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)dt=f(x).$$
Matemaatilise analüüsi teine põhiteoreem (Newton-Leibnizi valem)
Kui funktsioonil f(x) on olemas Riemann'i integraal lõigus [a; b] ja algfunktsioon F(x) vastavas lõigus, siis:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a).$$
Määratud integraal arvust 1
$$\int_{a}^{b} 1dx=b-a$$
Konstandiga korrutatud funktsiooni integreerimine
$$\int_{a}^{b} c\times f(x)dx=c\times \int_{a}^{b} f(x)dx$$
Summa või vahe integreerimine
$$\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)]dx=\int_{a}^{b} f(x)dx \pm \int_{a}^{b} g(x)dx$$
Määratud integraali rajade vahetamine
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a} f(x)dx$$
Võrdsete rajadega integraal
$$\int_{a}^{a} f(x)dx=0$$
Aditiivsus
Iga kolme arvu a, b ja c korral, piirkonnas, kus funktsioon f(x) on integreeruv, kehtib võrdus:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{c} f(x)dx+\int_{c}^{b} f(x)dx$$
Lineaarsus
$$\int_{a}^{b} [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx=\alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx$$
Monotoonsus
Kui f(x) ≤ g(x) iga x ∈ (a; b) korral, siis:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx\leq \int_{a}^{b} g(x)dx$$
Vaata ka:
Korduma kippuvad küsimused
Mis on määratud integraal?
Määratud integraal kirjeldab funktsiooni kogunemist lõigul [a; b] ja aitab leida summa või pindala tüüpi suurusi.
Mida tähendavad integraali rajad a ja b?
Rajad a ja b näitavad, millisel intervallil funktsiooni väärtusi liidetakse või kogutakse.
Mis on Newton-Leibnizi valem?
Newton-Leibnizi valem ütleb, et määratud integraal võrdub algfunktsiooni väärtuste vahega rajapunktides.
Mis juhtub, kui integraali rajad on võrdsed?
Kui algus- ja lõpp-punkt on samad, on määratud integraali väärtus 0.
