Siin on funktsiooni tuletise definitsioon, peamised tuletise valemid ja tuletiste tabel. Tuletist kasutatakse funktsiooni muutumise kiiruse, puutuja tõusu ja ekstreemumite leidmiseks.
Tuletise valemid lühidalt
- Konstandi tuletis: \((c)'=0\)
- Astme tuletis: \((x^{n})'=nx^{n-1}\)
- Summa tuletis: \((u+v)'=u'+v'\)
- Korrutise tuletis: \((uv)'=u'v+uv'\)
- Jagatise tuletis: \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\)
- Liitfunktsiooni tuletis: \((f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\)
Funktsiooni tuletis näitab funktsiooni väärtuse muutumise kiirust argumendi muutumisel. Geomeetriliselt näitab tuletis funktsiooni graafiku puutuja tõusu antud punktis.
$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
Tuletise leidmine
Tuletise leidmiseks vali funktsiooni tüübile sobiv valem ja rakenda vajadusel summa, korrutise, jagatise või liitfunktsiooni reeglit.
Näide 1: kui \(f(x)=x^{3}\), siis \(f'(x)=3x^{2}\).
Näide 2: kui \(f(x)=5x^{2}+3x-7\), siis \(f'(x)=10x+3\).
Näide 3: kui \(f(x)=\sin x\), siis \(f'(x)=\cos x\).
Tuletiste tabel
| Funktsioon | Tuletis |
|---|---|
| $$y=c$$ | $${y}'=0$$ |
| $$y=x$$ | $${y}'=1$$ |
| $$y=\frac{1}{x}$$ | $${y}'=-\frac{1}{x^{2}}$$ |
| $$y=\sqrt{x}$$ | $${y}'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ |
| $$y=x^{n}$$ | $${y}'=nx^{n-1}$$ |
| $$y=\sin x$$ | $${y}'=\cos x$$ |
| $$y=\cos x$$ | $${y}'=-\sin x$$ |
| $$y=\tan x$$ | $${y}'=\frac{1}{\cos^{2} x}$$ |
| $$y=\cot x$$ | $${y}'=-\frac{1}{\sin^{2} x}$$ |
| $$y=a^{x}$$ | $${y}'=a^{x}\ln a$$ |
| $$y=e^{x}$$ | $${y}'=e^{x}$$ |
| $$y=\log_{a}x$$ | $${y}'=\frac{1}{x \ln a}$$ |
| $$y=\ln x$$ | $${y}'=\frac{1}{x}$$ |
| $$y=\arcsin x$$ | $${y}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$ |
| $$y=\arccos x$$ | $${y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$ |
| $$y=\arctan x$$ | $${y}'=\frac{1}{1+x^{2}}$$ |
| $$y=\mathrm{arccot}\, x$$ | $${y}'=-\frac{1}{1+x^{2}}$$ |
Korduma kippuvad küsimused
Mis on funktsiooni tuletis?
Funktsiooni tuletis näitab funktsiooni muutumise kiirust ning graafiku puutuja tõusu antud punktis.
Kuidas leida astme tuletist?
Astmefunktsiooni korral kasutatakse valemit \((x^{n})'=nx^{n-1}\).
Mis on konstandi tuletis?
Konstandi tuletis on 0, sest konstantne funktsioon ei muutu.
Millal kasutada liitfunktsiooni tuletise reeglit?
Liitfunktsiooni reeglit kasutatakse siis, kui üks funktsioon on teise funktsiooni sees, näiteks \(f(x)=\sin(x^{2})\).
