Siit leiad kõige olulisemad kolmnurga valemid: pindala, ümbermõõt, kõrgus, siseringjoone raadius, ümberringjoone raadius ning võrdkülgse, võrdhaarse ja täisnurkse kolmnurga valemid.
Kolmnurga valemid lühidalt
- Pindala aluse ja kõrguse kaudu: \(S=\frac{a \times h}{2}\)
- Ümbermõõt: \(P=a+b+c\)
- Poolümbermõõt: \(s=\frac{a+b+c}{2}\)
- Heroni valem: \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
- Kõrgus pindala kaudu: \(h=\frac{2S}{a}\)
- Siseringjoone raadius: \(r=\frac{S}{s}=\frac{2S}{P}\)
- Ümberringjoone raadius: \(R=\frac{abc}{4S}\)
Kolmnurk on tasapinnaline kujund, millel on kolm tippu, kolm külge ja kolm sisenurka. Kolmnurga sisenurkade summa on alati 180°.
Kolmnurga sisenurkade summa:
$$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$$
Kolmnurga liigid
Kolmnurki liigitatakse nurkade ja külgede järgi. Nurkade järgi on kolmnurgad:
- täisnurkne kolmnurk - üks nurk on 90°
- teravnurkne kolmnurk - kõik nurgad on väiksemad kui 90°
- nürinurkne kolmnurk - üks nurk on suurem kui 90°
- kaldnurkne kolmnurk - teravnurkne või nürinurkne kolmnurk
Külgede järgi on kolmnurgad:
- võrdkülgne kolmnurk - kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad on 60°
- võrdhaarne kolmnurk - kaks külge on võrdsed
- erikülgne kolmnurk - kõik küljed on erineva pikkusega
Kolmnurga pindala
Kolmnurga pindala saab arvutada mitmel viisil. Kõige sagedamini kasutatakse aluse ja kõrguse valemit.
1. aluse ja kõrguse kaudu:
$$S= \frac{a \times h}{2}$$
kus,
a— alus;
h— kõrgus.
Näide: kui alus on 8 cm ja kõrgus 5 cm, siis \(S=\frac{8 \times 5}{2}=20\) cm2.
2. kolme külje kaudu (Heroni valem)
\begin{align} S &=\sqrt{s \times (s-a) \times (s-b) \times (s-c)} \\ s &=\frac {a+b+c}{2} \\ \end{align}
kus,
a, b, c — kolmnurga küljed.
Heroni valemit kasutatakse siis, kui teada on kolmnurga kolm külge, kuid kõrgus ei ole teada.
3. siseringjoone raadiuse ja kolmnurga ümbermõõdu kaudu:
$$S= \frac{r \times P}{2}$$
kus,
r— siseringjoone raadius;
P— kolmnurga ümbermõõt.
4. kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu:
$$S= \frac{ab\;\textrm{sin}\,\gamma }{2} = \frac{bc\;\textrm{sin}\,\alpha }{2} = \frac{ac\;\textrm{sin}\,\beta }{2}$$
kus,
a, b, c — kolmnurga küljed;
α, β, γ — kolmnurga sisenurgad.
5. ühe külje ja selle lähinurkade kaudu:
$$S= \frac{a^{2}}{2\;(\textrm{cot}\,\beta+\textrm{cot}\,\gamma)}=\frac{a^{2}(\textrm{sin}\,\beta)(\textrm{sin}\,\gamma)}{2\,\textrm{sin}\,(\beta+\gamma)}$$
kus,
a— kolmnurga külg;
β, γ— kolmnurga külje a lähinurgad.
Viimast valemit saab rakendada kõigile kolmnurga külgedele ja vastava külje lähinurkadele.
Kolmnurga kõrgus
Kui kolmnurga pindala ja alus on teada, saab kõrguse leida pindala valemist:
$$h=\frac{2S}{a}$$
kus,
S— kolmnurga pindala;
a— alus.
Näide: kui pindala on 30 cm2 ja alus 10 cm, siis \(h=\frac{2 \times 30}{10}=6\) cm.
Kolmnurga ümbermõõt
Kolmnurga ümbermõõt on kõigi külgede pikkuste summa.
$$P=a+b+c$$
kus,
a, b, c — kolmnurga küljed.
Näide: kui küljed on 4 cm, 5 cm ja 6 cm, siis \(P=4+5+6=15\) cm.
Kolmnurga siseringjoon ja ümberringjoon
Kolmnurga siseringjoone raadius on leitav pindala ja poolümbermõõdu kaudu:
$$r=\frac{S}{s}=\frac{2S}{P}$$
Kolmnurga ümberringjoone raadius on leitav külgede ja pindala kaudu:
$$R=\frac{abc}{4S}$$
kus,
r— siseringjoone raadius;
R— ümberringjoone raadius;
s— poolümbermõõt.
Võrdkülgne kolmnurk
Võrdkülgse kolmnurga kõrgus on leitav valemiga:
$$h= \frac{a \sqrt{3}}{2}$$
kus,
a— kolmnurga külg.
Võrdkülgse kolmnurga pindala on leitav valemiga:
$$S= \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$$
kus,
a— kolmnurga külg.
Võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt on leitav valemiga:
$$P=3a$$
kus,
a— kolmnurga külg.
Võrdhaarne kolmnurk
Võrdhaarse kolmnurga kõrgus on leitav valemiga:
$$h= \sqrt{b^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}$$
kus,
a— alus;
b— haarad, võrdsed küljed.
Võrdhaarse kolmnurga pindala aluse ja haara kaudu:
$$S=\frac{a}{4}\sqrt{4b^{2}-a^{2}}$$
Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt:
$$P=a+2b$$
kus,
a— alus;
b— haar.
Täisnurkne kolmnurk
Täisnurkse kolmnurga küljed on kaatetid a ja b ning hüpotenuus c. Täisnurkse kolmnurga külgede vahel kehtib Pythagorase teoreem.
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$
Täisnurkse kolmnurga pindala:
$$S=\frac{ab}{2}$$
Täisnurkse kolmnurga ümbermõõt:
$$P=a+b+c$$
Korduma kippuvad küsimused
Kuidas leida kolmnurga pindala?
Kui teada on alus ja kõrgus, kasuta valemit \(S=\frac{a \times h}{2}\). Kui teada on kolm külge, kasuta Heroni valemit \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\).
Kuidas leida kolmnurga kõrgust?
Kui pindala ja alus on teada, siis \(h=\frac{2S}{a}\). Võrdhaarse kolmnurga kõrguse saab leida valemiga \(h=\sqrt{b^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}\).
Kuidas arvutada kolmnurga ümbermõõtu?
Liida kõik kolm külge kokku: \(P=a+b+c\). Võrdkülgse kolmnurga korral \(P=3a\) ja võrdhaarse kolmnurga korral \(P=a+2b\).
Kas kolmnurgal on ruumala?
Kolmnurk on tasapinnaline kujund, seega kolmnurgal ruumala ei ole. Ruumala arvutatakse ruumilistel kehadel, näiteks kolmnurkse prisma puhul.
