Kolmnurga valemid


Kolmnurk on eukleidilises ruumis määratud kolme punktiga, mis ei asu ühel ja samal sirgel ning neid punkte nimetatakse kolmnurga tippudeks. Kolmnurk on kujund, mille moodustavad kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud e. kolmnurga küljed. Kolmnurk asub tasandil e. tegemist on tasapinnalise kujundiga.

Vähemalt kaks kolmnurga nurka on teravnurgad (s.t < 90°). Üks nurk võib olla nii terav, täis- kui ka nürinurk.

Kolmnurga sisenurkade summa kohta kehtib alati seos:

$$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$$


Kolmnurki võib liigitada nurkade ja külgede järgi. Kolmnurgad jagunevad nurkade järgi järgmiselt:

  • täisnurkne kolmnurk - kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk ehk 90°
  • teravnurkne kolmnurk- kolmnurk, mille kõik nurgad on väiksemad kui 90 kraadi
  • nürinurkne kolmnurk - kolmnurk, mille üks nurk on suurem kui 90 kraadi
  • kaldnurkne kolmnurk - seda nimetust kasutatakse vahel nüri- ja teravnurksete kolmnurkade kohta

Kolmnurgad jagunevad külgede järgi järgmiselt:

  • võrdkülgne kolmnurk - kolmnurk, mille kõik küljed on võrdse pikkusega. Võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on samuti võrdse suurusega 60°.
  • võrdhaarne kolmnurk - kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega
  • erikülgne kolmnurk - kolmnurk, millel kõik küljed on erineva pikkusega

Kolmnurga pindala

1. aluse ja kõrguse kaudu:

$$S= \frac{a \times h}{2}$$


kus,

a— alus;
h— kõrgus.

2. kolme külje kaudu (Heroni valem)

\begin{align} S &=\sqrt{s \times (s-a) \times (s-b) \times (s-c)} \\ s &=\frac {a+b+c}{2} \\ \end{align}


kus,

a, b, c— kolmnurga küljed.

3. siseringjoone raadiuse ja kolmnurga ümbermõõdu kaudu:

$$S= \frac{r \times P}{2}$$


kus,

r— siseringjoone raadius;
P— kolmnurga ümbermõõt.

4. kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu:

$$S= \frac{ab\;\textrm{sin}\,\gamma }{2} = \frac{bc\;\textrm{sin}\,\alpha }{2} = \frac{ac\;\textrm{sin}\,\beta }{2}$$


kus,

a, b, c— kolmnurga küljed;
α, β, γ— kolmnurga sisenurgad.

5. ühe külje ja selle lähinurkade kaudu:

$$S= \frac{a^{2}}{2\;(\textrm{cot}\,\beta+\textrm{cot}\,\gamma)}=\frac{a^{2}(\textrm{sin}\,\beta)(\textrm{sin}\,\gamma)}{2\,\textrm{sin}\,(\beta+\gamma)}$$


kus,

a— kolmnurga külg;
β, γ— kolmnurga külje a lähinurgad.

Viimast valemit saab rakendada kõigile kolmnurga külgedele ja vastava külje lähinurkadele.

Kolmnurga ümbermõõt

$$P=a+b+c$$


kus,

a, b, c— kolmnurga küljed.

Võrdkülgne kolmnurk

Võrdkülgse kolmnurga kõrgus on leitav valemiga:

$$h= \frac{a \sqrt{3}}{2}$$


kus,

a— kolmnurga külg.

Võrdkülgse kolmnurga pindala on leitav valemiga:

$$S= \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$$


kus,

a— kolmnurga külg.

Võrdhaarne kolmnurk

Võrdhaarse kolmnurga kõrgus on leitav valemiga:

$$h= \sqrt{b^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}$$


kus,

a— alus;
b— haarad, võrdsed küljed.

Täisnurkne kolmnurk

Vt. Pythagorase teoreem


TOP 7