Siin on peamised logaritmi valemid, omadused ja tehted logaritmidega.
Logaritmid lühidalt
- Logaritmi definitsioon: \(\log_{a}b=x \Leftrightarrow a^{x}=b\)
- Kümnendlogaritm: \(\log b\)
- Naturaallogaritm: \(\ln b\)
- Korrutise logaritm: \(\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y\)
Logaritmi mõiste
Arv x on arvu b logaritm alusel a, kui arv x on astendaja (eksponent), millega arvu a astendades on tulemuseks arv b:
\begin{align} \mathrm{log}_{a}b&=x \Leftrightarrow b=a^{x},\; \textrm{kus}\; a > 0\; \textrm{ja}\; a\neq 1\\ \end{align}
Naturaallogaritmi pöördfunktsioon on eksponentfunktsioon ehk eksponentsiaalfunktsioon.
Logaritmi alusel 10 nimetatakse kümnendlogaritmiks.
$$\mathrm{log}\, b=x \Leftrightarrow b=10^{x}$$
Logaritmi alusel e nimetatakse naturaallogaritmiks.
$$\mathrm{ln}\, b=\mathrm{log}_{e}b=x \Leftrightarrow b=e^{x}, \textrm{kus}\; e=2,718281828...$$
$$\mathrm{ln}\, b=\int_{1}^{b}\frac{1}{x}\mathrm{d}x$$
Logaritmi omadused
\begin{align} \mathrm{log}_{a}1&=0 \Rightarrow a^{0}=1\\ \\ \mathrm{log}_{a}a&=1 \Rightarrow a^{1}=a\\ \\ \mathrm{log}_{a}0&\; \textrm{ei ole määratud}\\ \\ \mathrm{log}_{a}b&=\frac{1}{\mathrm{log}_{b}a}\\ \\ \mathrm{log}_{a}b&=\frac{\mathrm{log}_{x}b}{\mathrm{log}_{x}a}\\ \end{align}
Tehted logaritmiga
\begin{align} \mathrm{log}_{a}(xy)&=\, \mathrm{log}_{a}x+\mathrm{log}_{a}y\\ \\ \mathrm{log}_{a}\left ( \frac{x}{y} \right )&=\, \mathrm{log}_{a}x-\mathrm{log}_{a}y,\\ \\ \mathrm{log}_{a}b^{x}&=x\,\mathrm{log}_{a}b\\ \\ \mathrm{log}_{a}\sqrt[x]{b}&=\frac{1}{x}\,\mathrm{log}_{a}b\\ \\ \mathrm{log}_{a}a^{b}&=b\\ \\ a^{\mathrm{log}_{a}b} &= b\\ \end{align}
Korduma kippuvad küsimused
Mis on logaritm?
Logaritm näitab, millise astendajaga tuleb alust astendada, et saada etteantud arv.
Mis on naturaallogaritm?
Naturaallogaritm on logaritm alusel \(e\) ja seda tähistatakse \(\ln\).
Mis on kümnendlogaritm?
Kümnendlogaritm on logaritm alusel 10.
Kuidas logaritm muudab korrutise summaks?
Logaritmi omaduse järgi kehtib \(\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y\).
