Lineaarvõrrandisüsteem


Lineaarvõrrandisüsteem on lineaaralgebras lineaarvõrrandite komplekt. Näiteks kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi üldkuju on:

\begin{align} \left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y&=c_{1},\\ a_{2}x+b_{2}y&=c_{2}. \end{matrix}\right. \end{align}


kus,

x,y— muutujad, otsitavad, tundmatud;
a1, a2, b1, b2, c1, c2 — lineaarvõrrandi kordajad, konstandid, arvud.

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks tuleb võrandid teisendada üldkujule ja seejärel lahendada sobiva võttega.

Asendusvõte

Kahe tundmatuga võrrandisüsteemi lahendamiseks asendusvõttega:

  • avaldatakse üks tundmatu teise kaudu;
  • asendatakse leitud avaldis teise võrrandisse;
  • lahendatakse saadud ühe tundmatuga võrrand;
  • leitud tundmatut kasutatakse teise tundmatu leidmiseks.

Näide 1.

\begin{align} \left\{\begin{matrix} 3x-7y =16,\\ x-5y =0. \end{matrix}\right. \\ \\ 3\times 5y-7y = 16 \Rightarrow y &= 2 \\ x-5 \times 2 = 0 \Rightarrow x &= 10 \end{align}


Liitmisvõte

Kahe tundmatuga võrrandisüsteemi lahendamiseks liitmisvõttega:

  • teisendatakse võrrandeid selliselt, et ühe tundmatu kordajateks võrrandites on teineteise vastandarvud;
  • liidetakse võrrandid (kuna ühe tundmatu kordajad on vastandarvud taandub see tundmatu välja);
  • lahendatakse ühe tundmatuga võrrand;
  • leitud tundmatu väärtuse abil leitakse ka teine tundmatu.

Näide 2.

\begin{align} \left\{\begin{matrix} 3x-7y =16\\ x-5y =0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} \\ \times (-3) \end{matrix} \\ \\ 3x-3x-7y+15y = 16+0 \Rightarrow y &= 2 \\ x-5 \times 2 = 0 \Rightarrow x &= 10 \end{align}