Determinant


Determinant on funktsioon lineaaralgebras, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse arvu. Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile.

Teist järku ruutmaatriksi determinant on leitav valemiga:

\begin{align} \textrm{det}(A)=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc. \end{align}


Kolmandat järku ruutmaatriksi determinant on leitav valemiga:

\begin{align} \textrm{det}(A)&=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=\\ \\ &=a_{11}a_{22}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} − a_{13}a_{22}a_{31} − a_{11}a_{23}a_{32} − a_{12}a_{21}a_{33} \end{align}


Üldjuhul saab n×n determinanti arvutada Leibnizi valemiga või Laplace'i valemiga.

Algebraline täiend, alamdeterminant ja miinor

Elemendi aij algebraliseks täiendiks Aij nimetatakse selle elemendi miinorit võetuna märgiga "+", kui indeksite summa i+j on paarisarv ja märgiga "-", kui ta on paaritu arv.

Maatriksi A elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse antud maatriksist i-nda rea ja j-nda veeru ärajätmisel saadud maatriksi determinanti.

Võtame 3x3 maatriksi:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & {\color{Red} a_{{\color{Red}2}{\color{Red}3}}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}


Selle determinandi miinor M2,3 on leitav alamdeterminandi abil:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & * \\ * & * & {\color{Red} *} \\ a_{31} & a_{32} & * \end{pmatrix}

$$M_{2,3}= \textrm{det} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}$$


Leibnizi valem determinandi arvutamiseks

Võetakse summa üle kõigi permutatsioonide σ hulgast {1, 2, ..., n}:

$$\textrm{det}(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}} \textrm{sgn}(\sigma )\prod_{i=1}^{n}A_{i,\sigma_{i}}$$


Laplace'i valem determinandi arvutamiseks

Laplace'i valemi kohaselt võrdub determinandi väärtus tema mingi rea elementide ja vastavate elementide algebraliste täiendite korrutiste summaga.

$$\textrm{det}(A)=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$$


kus,

a— maatriksi element;
A— vastava elemendi algebraline täiend.

Algebralise täiendi esitamisel miinori kaudu saame:

$$\textrm{det}(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$$


Determinandi omadused

1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel:

$$\textrm{det}(A)=\textrm{det}(A^{T})$$


2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg :

  • koosneb nullidest
  • on võrdne mõne teise vastava rea või veeruga
  • on proportsionaalne mõne teise vastava rea või veeruga
  • on esitatav ülejäänud ridade/veergude lineaarkombinatsioonina (avaldub teiste skalaari kordsete väärtuste täpse summana)

3. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis muutub determinandi märk vastupidiseks:

\begin{align} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}&=n\\ \\ \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{11} & a_{12} \end{vmatrix}&=-n\\ \end{align}


4. Determinanti skalaariga korrutades, korrutatakse vaid ühte rida või veergu. Samalaadselt kehtib vastupidine, kui mõni determinandi rida või veerg avaldub teatud skalaari kordsena, saab selle skalaari determinandi ette tuua.

5. Kui determinandis mingi rea (veeru) iga element on kahe liidetava summa, siis see determinant on avaldatav kahe determinandina, kus esimeses determinandis on vaadeldavas reas (veerus) esimesed liidetavad ja teises determinandis vastavas reas (veerus) teised liidetavad ning ülejäänud read (veerud) on samad, mis lähtedeterminandis.

6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele juurde liita mis tahes arv kordsed teise rea vastavad elemendid.

7. Kuna determinant on induktiivselt defineeritud (esmalt esimest järku, selle abil teist, selle abil kolmandat jne.), saame suuremaid determinante arvutada nende miinorite ehk alamdeterminantide summana.

8. Maatriksi A ja B determinantide korrutis on võrdne nende maatrikskorrutise determinandiga olenemata maatriksite järjekorrast:

$$\textrm{det}(A) \times \textrm{det}(B)=\textrm{det}(AB)=\textrm{det}(BA)$$



TOP 7