» Determinant

Determinant on funktsioon lineaaralgebras, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse arvu. Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile.

Teist jÀrku ruutmaatriksi determinant on leitav valemiga:

\begin{align} \textrm{det}(A)=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc. \end{align}


Kolmandat jÀrku ruutmaatriksi determinant on leitav valemiga:

\begin{align} \textrm{det}(A)&=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=\\ \\ &=a_{11}a_{22}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} − a_{13}a_{22}a_{31} − a_{11}a_{23}a_{32} − a_{12}a_{21}a_{33} \end{align}


Üldjuhul saab n×n determinanti arvutada Leibnizi valemiga vĂ”i Laplace'i valemiga.

Algebraline tÀiend, alamdeterminant ja miinor

Elemendi aij algebraliseks tÀiendiks Aij nimetatakse selle elemendi miinorit vÔetuna mÀrgiga "+", kui indeksite summa i+j on paarisarv ja mÀrgiga "-", kui ta on paaritu arv.

Maatriksi A elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse antud maatriksist i-nda rea ja j-nda veeru ÀrajÀtmisel saadud maatriksi determinanti.

VÔtame 3x3 maatriksi:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & {\color{Red} a_{{\color{Red}2}{\color{Red}3}}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}


Selle determinandi miinor M2,3 on leitav alamdeterminandi abil:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & * \\ * & * & {\color{Red} *} \\ a_{31} & a_{32} & * \end{pmatrix}

$$M_{2,3}= \textrm{det} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}$$


Leibnizi valem determinandi arvutamiseks

VĂ”etakse summa ĂŒle kĂ”igi permutatsioonide σ hulgast {1, 2, ..., n}:

$$\textrm{det}(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}} \textrm{sgn}(\sigma )\prod_{i=1}^{n}A_{i,\sigma_{i}}$$


Laplace'i valem determinandi arvutamiseks

Laplace'i valemi kohaselt vÔrdub determinandi vÀÀrtus tema mingi rea elementide ja vastavate elementide algebraliste tÀiendite korrutiste summaga.

$$\textrm{det}(A)=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$$


kus,

a— maatriksi element;
A— vastava elemendi algebraline tĂ€iend.

Algebralise tÀiendi esitamisel miinori kaudu saame:

$$\textrm{det}(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$$


Determinandi omadused

1. Maatriksi determinandi vÀÀrtus ei muutu maatriksi transponeerimisel:

$$\textrm{det}(A)=\textrm{det}(A^{T})$$


2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida vÔi veerg :

  • koosneb nullidest
  • on vĂ”rdne mĂ”ne teise vastava rea vĂ”i veeruga
  • on proportsionaalne mĂ”ne teise vastava rea vĂ”i veeruga
  • on esitatav ĂŒlejÀÀnud ridade/veergude lineaarkombinatsioonina (avaldub teiste skalaari kordsete vÀÀrtuste tĂ€pse summana)

3. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis muutub determinandi mÀrk vastupidiseks:

\begin{align} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}&=n\\ \\ \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{11} & a_{12} \end{vmatrix}&=-n\\ \end{align}


4. Determinanti skalaariga korrutades, korrutatakse vaid ĂŒhte rida vĂ”i veergu. Samalaadselt kehtib vastupidine, kui mĂ”ni determinandi rida vĂ”i veerg avaldub teatud skalaari kordsena, saab selle skalaari determinandi ette tuua.

5. Kui determinandis mingi rea (veeru) iga element on kahe liidetava summa, siis see determinant on avaldatav kahe determinandina, kus esimeses determinandis on vaadeldavas reas (veerus) esimesed liidetavad ja teises determinandis vastavas reas (veerus) teised liidetavad ning ĂŒlejÀÀnud read (veerud) on samad, mis lĂ€htedeterminandis.

6. Determinandi vÀÀrtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele juurde liita mis tahes arv kordsed teise rea vastavad elemendid.

7. Kuna determinant on induktiivselt defineeritud (esmalt esimest jÀrku, selle abil teist, selle abil kolmandat jne.), saame suuremaid determinante arvutada nende miinorite ehk alamdeterminantide summana.

8. Maatriksi A ja B determinantide korrutis on vÔrdne nende maatrikskorrutise determinandiga olenemata maatriksite jÀrjekorrast:

$$\textrm{det}(A) \times \textrm{det}(B)=\textrm{det}(AB)=\textrm{det}(BA)$$



favorite TOP 7

favorite VÄIKELASTELE

Jaga